Wärmestrom berechnen: Wärmeleitung, Konvektion und Strahlung

Was ist der Wärmestrom? Definition und Einheit

• Formelzeichen: Q̇ (Q mit Punkt) für den Wärmestrom, q̇ für die Wärmestromdichte. Der Punkt steht für die zeitliche Ableitung der Wärmemenge Q in Joule.
• Einheit: Watt (W) für Q̇, W/m² für q̇. In der Elektronikkühlung ist auch W/cm² üblich: 1 W/cm² = 10.000 W/m².
• Antrieb: Wärme fließt nur bei einer Temperaturdifferenz ΔT und immer vom höheren zum niedrigeren Temperaturniveau.
• Drei Mechanismen: Wärmeleitung in Festkörpern und ruhenden Fluiden, Konvektion an einer umströmten Oberfläche und Wärmestrahlung zwischen Oberflächen.
• In der Leistungselektronik entspricht der abzuführende Wärmestrom im stationären Betrieb der Verlustleistung der Bauteile.

Wärmestrom Formel: Wärmeleitung, Konvektion und Strahlung

Für jeden Mechanismus gibt es eine eigene Formel. Alle haben dieselbe Struktur: Der Wärmestrom wächst mit der Fläche und mit dem Temperaturunterschied. Bei der Strahlung geht die Temperatur allerdings in der vierten Potenz und absolut in Kelvin ein.

• Q̇: Wärmestrom [W]
• q̇: Wärmestromdichte [W/m²]
• λ: Wärmeleitfähigkeit [W/(m·K)]
• α: Wärmeübergangskoeffizient [W/(m²·K)]
• ε: Emissionsgrad [–], zwischen 0 und 1
• σ: Stefan-Boltzmann-Konstante, 5,670 · 10⁻⁸ W/(m²·K⁴)
• A: Fläche [m²], d: Schichtdicke [m]
• ΔT: Temperaturdifferenz [K], T₁ und T₂: absolute Temperaturen [K]
• ṁ: Massenstrom [kg/s], c_p: spezifische Wärmekapazität [J/(kg·K)]

Achtung bei der Strahlung: Die Temperaturen gehen absolut in Kelvin ein, T = ϑ + 273,15. Rechnen Sie mit °C, ist das Ergebnis falsch. Bei Leitung und Konvektion genügt die Differenz ΔT, die in K und °C denselben Zahlenwert hat.

Wärmestrom und Wärmewiderstand: das ohmsche Gesetz der Wärme

Wärmestrom und Temperaturdifferenz verhalten sich wie elektrischer Strom und Spannung. Der Wärmewiderstand R_th = ΔT / Q̇ in K/W entspricht dem elektrischen Widerstand. So lassen sich ganze Wärmepfade wie eine Schaltung berechnen.

• Wärmeleitung: R_th = d / (λ · A)
• Konvektion: R_th = 1 / (α · A)
• Strahlung, linearisiert: R_th = 1 / (α_rad · A) mit α_rad = Q̇ / (A · ΔT)
• Reihenschaltung, z. B. Bodenplatte, Wärmeleitpaste und Kühlkörper: R_ges = R₁ + R₂ + R₃. Derselbe Wärmestrom fließt durch alle Schichten, die Temperaturdifferenzen addieren sich.
• Parallelschaltung, z. B. Konvektion und Strahlung an derselben Oberfläche: 1 / R_ges = 1 / R_konv + 1 / R_rad. Hier addieren sich die Wärmeströme.

Mit dem Gesamtwiderstand folgt der Wärmestrom direkt aus Q̇ = ΔT_ges / R_ges. Umgekehrt liefert ΔT = Q̇ · R die Temperaturerhöhung jeder einzelnen Schicht.

Berechnungsbeispiel: Wärmestrom durch TIM, Bodenplatte und Kühlkanal

Ein IGBT-Modul gibt 300 W Verlustleistung über eine Bodenfläche von 60 cm² (0,006 m²) an eine Kühlplatte ab. Dazwischen liegen 0,1 mm Wärmeleitpaste (λ = 3 W/(m·K)) und 10 mm Aluminium EN AW-6060 (λ = 200 W/(m·K)). Im Kühlkanal gilt α = 3.000 W/(m²·K) bei 120 cm² benetzter Fläche. Gesucht ist die Temperaturerhöhung von der Modulunterseite bis zum Kühlwasser.

1. q̇ = 300 W / 0,006 m² = 50.000 W/m² = 5 W/cm²
2. R_TIM = 0,0001 m / (3 W/(m·K) · 0,006 m²) = 0,0056 K/W → ΔT = 1,7 K
3. R_Platte = 0,010 m / (200 W/(m·K) · 0,006 m²) = 0,0083 K/W → ΔT = 2,5 K
4. R_konv = 1 / (3.000 W/(m²·K) · 0,012 m²) = 0,0278 K/W → ΔT = 8,3 K
5. R_ges = 0,0056 + 0,0083 + 0,0278 = 0,0417 K/W → ΔT_ges = 300 W · 0,0417 K/W = 12,5 K

Die Modulunterseite liegt rund 12,5 K über der Kühlwassertemperatur, den größten Anteil hat der konvektive Übergang ins Wasser. Auffällig ist die TIM-Schicht: 0,1 mm Wärmeleitpaste kosten 1,7 K und damit zwei Drittel dessen, was 10 mm Aluminium verursachen. Mit 5 W/cm² liegt die Anwendung klar im Bereich der Flüssigkeitskühlung.

Vereinfachung: eindimensionaler Wärmepfad ohne Wärmespreizung und ohne Kontaktwiderstände. In der Praxis verteilt die Bodenplatte die Wärme auf eine größere Fläche, dafür kommen Kontaktwiderstände an jeder Grenzfläche hinzu. Mit R_th,JC aus dem Datenblatt berechnen Sie daraus die Sperrschichttemperatur.

Berechnungsbeispiel: Strahlungsanteil eines schwarz eloxierten Kühlkörpers

Ein passiv gekühlter Rippenkühlkörper aus schwarz eloxiertem Aluminium (ε = 0,85) erreicht 60 °C bei 25 °C Umgebungstemperatur. Seine Hüllfläche beträgt 0,10 m², die gesamte Rippenoberfläche 0,40 m². Für die natürliche Konvektion setzen wir α = 5 W/(m²·K) an.

1. T₁ = 60 + 273,15 = 333,15 K, T₂ = 25 + 273,15 = 298,15 K
2. T₁⁴ − T₂⁴ = 1,2319 · 10¹⁰ K⁴ − 0,7902 · 10¹⁰ K⁴ = 4,417 · 10⁹ K⁴
3. q̇_rad = 0,85 · 5,670 · 10⁻⁸ W/(m²·K⁴) · 4,417 · 10⁹ K⁴ = 213 W/m²
4. Q̇_rad = 213 W/m² · 0,10 m² = 21 W, α_rad = 213 W/m² / 35 K = 6,1 W/(m²·K)
5. Q̇_konv = 5 W/(m²·K) · 0,40 m² · 35 K = 70 W → Strahlungsanteil 21 W / 91 W ≈ 23 %
6. Mit Lüfter (α = 50 W/(m²·K)): Q̇_konv = 700 W → Strahlungsanteil ≈ 3 %
7. Blankes Aluminium (ε = 0,09): Q̇_rad = 2,3 W statt 21 W

Bei natürlicher Konvektion trägt die Strahlung im Beispiel fast ein Viertel zur Wärmeabgabe bei, weil α_rad mit rund 6 W/(m²·K) in derselben Größenordnung liegt wie α_konv. Mit Lüfter sinkt ihr Anteil auf etwa 3 % und ist vernachlässigbar. Das Eloxieren steigert die abgestrahlte Leistung gegenüber blankem Aluminium etwa um den Faktor 9.

Wann ist Wärmestrahlung relevant?

Ob Sie die Strahlung mitrechnen müssen, entscheidet das Verhältnis von α_rad zu α_konv. Bei Oberflächentemperaturen bis etwa 100 °C und hohem Emissionsgrad liegt α_rad bei rund 5 bis 8 W/(m²·K). Das ist viel im Vergleich zur natürlichen Konvektion und wenig im Vergleich zur Zwangskonvektion.

• Strahlung zählt bei passiv gekühlten Geräten, in geschlossenen Gehäusen ohne Lüfter und bei hohen Oberflächentemperaturen, weil q̇_rad mit T⁴ wächst.
• Eine schwarz eloxierte oder lackierte Oberfläche hebt ε von unter 0,1 auf 0,85 bis 0,95. Bei Zwangskonvektion bringt das thermisch kaum etwas.
• Bei Rippenkühlkörpern sehen sich die Rippenflächen gegenseitig. Für die Abstrahlung an die Umgebung zählt näherungsweise nur die Hüllfläche, nicht die gesamte Rippenoberfläche.
• Die Formel setzt eine große Umgebung mit einheitlicher Temperatur voraus. Strahlen benachbarte warme Bauteile oder Gehäusewände zurück, sinkt der Nettowärmestrom.

Richtwerte für α nach Incropera et al., Fundamentals of Heat and Mass Transfer, und VDI-Wärmeatlas. α_rad berechnet für 60 °C Oberflächentemperatur und 25 °C Umgebung.

Wärmestromdichte einordnen: Luft- oder Flüssigkeitskühlung?

Die Wärmestromdichte q̇ ist ein guter erster Indikator für das Kühlkonzept. Maßgeblich ist die Dichte an der Montagefläche des Kühlers, also dort, wo die Wärme vom Bauteil in den Kühlkörper übergeht. Die Bereiche sind Orientierungswerte, keine harten Grenzen.

Eine dicke Bodenplatte oder ein Kupfer-Inlay spreizt die Wärme und senkt q̇ an der Kühlerfläche. Deshalb lohnt der Blick auf beide Flächen: die des Bauteils und die des Kühlers.

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