Calcul du flux thermique : conduction, convection et rayonnement

Qu'est-ce que le flux thermique ? Définition et unité

• Symbole : Q̇ (Q point) pour le flux thermique, q̇ pour la densité de flux thermique. Le point désigne la dérivée temporelle de la quantité de chaleur Q en joules.
• Unité : watt (W) pour Q̇, W/m² pour q̇. En refroidissement électronique, on utilise aussi le W/cm² : 1 W/cm² = 10 000 W/m².
• Moteur du transfert : la chaleur ne circule qu'en présence d'une différence de température ΔT, et toujours du niveau de température le plus élevé vers le plus bas.
• Trois modes de transfert : la conduction dans les solides et les fluides au repos, la convection sur une surface balayée par un fluide et le rayonnement thermique entre surfaces.
• En électronique de puissance, le flux thermique à évacuer en régime permanent correspond à la puissance dissipée par les composants.

Formule du flux thermique : conduction, convection et rayonnement

Chaque mode de transfert a sa propre formule. Toutes ont la même structure : le flux thermique augmente avec la surface et avec l'écart de température. Pour le rayonnement, la température intervient toutefois à la puissance quatre et en valeur absolue, en kelvins.

• Q̇ : flux thermique [W]
• q̇ : densité de flux thermique [W/m²]
• λ : conductivité thermique [W/(m·K)]
• α : coefficient de transfert thermique [W/(m²·K)], souvent noté h
• ε : émissivité [–], entre 0 et 1
• σ : constante de Stefan-Boltzmann, 5,670 · 10⁻⁸ W/(m²·K⁴)
• A : surface [m²], d : épaisseur de la couche [m]
• ΔT : différence de température [K], T₁ et T₂ : températures absolues [K]
• ṁ : débit massique [kg/s], c_p : capacité thermique massique [J/(kg·K)]

Attention au rayonnement : les températures interviennent en valeur absolue, en kelvins, T = ϑ + 273,15. Un calcul en °C donne un résultat faux. Pour la conduction et la convection, seule compte la différence ΔT, qui a la même valeur numérique en K et en °C.

Flux thermique et résistance thermique : la loi d'Ohm de la chaleur

Le flux thermique et la différence de température se comportent comme le courant et la tension électriques. La résistance thermique R_th = ΔT / Q̇ en K/W correspond à la résistance électrique. On peut ainsi calculer des chemins thermiques entiers comme un circuit.

• Conduction : R_th = d / (λ · A)
• Convection : R_th = 1 / (α · A)
• Rayonnement, linéarisé : R_th = 1 / (α_rad · A) avec α_rad = Q̇ / (A · ΔT)
• Montage en série, p. ex. semelle, pâte thermique et dissipateur : R_tot = R₁ + R₂ + R₃. Le même flux thermique traverse toutes les couches, les différences de température s'additionnent.
• Montage en parallèle, p. ex. convection et rayonnement depuis la même surface : 1 / R_tot = 1 / R_conv + 1 / R_rad. Ici, ce sont les flux thermiques qui s'additionnent.

Avec la résistance totale, le flux thermique découle directement de Q̇ = ΔT_tot / R_tot. Inversement, ΔT = Q̇ · R donne l'élévation de température à travers chaque couche.

Exemple de calcul : flux thermique à travers TIM, semelle et canal de refroidissement

Un module IGBT dissipe 300 W à travers une surface de base de 60 cm² (0,006 m²) vers une plaque froide. Entre les deux se trouvent 0,1 mm de pâte thermique (λ = 3 W/(m·K)) et 10 mm d'aluminium EN AW-6060 (λ = 200 W/(m·K)). Dans le canal de refroidissement, α = 3 000 W/(m²·K) pour une surface mouillée de 120 cm². On cherche l'élévation de température entre la face inférieure du module et l'eau de refroidissement.

1. q̇ = 300 W / 0,006 m² = 50 000 W/m² = 5 W/cm²
2. R_TIM = 0,0001 m / (3 W/(m·K) · 0,006 m²) = 0,0056 K/W → ΔT = 1,7 K
3. R_semelle = 0,010 m / (200 W/(m·K) · 0,006 m²) = 0,0083 K/W → ΔT = 2,5 K
4. R_conv = 1 / (3 000 W/(m²·K) · 0,012 m²) = 0,0278 K/W → ΔT = 8,3 K
5. R_tot = 0,0056 + 0,0083 + 0,0278 = 0,0417 K/W → ΔT_tot = 300 W · 0,0417 K/W = 12,5 K

La face inférieure du module se trouve environ 12,5 K au-dessus de la température de l'eau, et le transfert convectif vers l'eau représente la plus grande part. La couche de TIM est frappante : 0,1 mm de pâte thermique coûte 1,7 K, soit les deux tiers de ce que provoquent 10 mm d'aluminium. Avec 5 W/cm², l'application relève clairement du refroidissement liquide.

Simplification : chemin thermique unidimensionnel, sans étalement de la chaleur ni résistances de contact. En pratique, la semelle répartit la chaleur sur une plus grande surface, mais des résistances de contact s'ajoutent à chaque interface. Avec le R_th,JC de la fiche technique, vous en déduisez la température de jonction.

Exemple de calcul : part du rayonnement d'un dissipateur anodisé noir

Un dissipateur à ailettes refroidi passivement, en aluminium anodisé noir (ε = 0,85), atteint 60 °C pour une température ambiante de 25 °C. Sa surface enveloppe est de 0,10 m², la surface totale des ailettes de 0,40 m². Pour la convection naturelle, on prend α = 5 W/(m²·K).

1. T₁ = 60 + 273,15 = 333,15 K, T₂ = 25 + 273,15 = 298,15 K
2. T₁⁴ − T₂⁴ = 1,2319 · 10¹⁰ K⁴ − 0,7902 · 10¹⁰ K⁴ = 4,417 · 10⁹ K⁴
3. q̇_rad = 0,85 · 5,670 · 10⁻⁸ W/(m²·K⁴) · 4,417 · 10⁹ K⁴ = 213 W/m²
4. Q̇_rad = 213 W/m² · 0,10 m² = 21 W, α_rad = 213 W/m² / 35 K = 6,1 W/(m²·K)
5. Q̇_conv = 5 W/(m²·K) · 0,40 m² · 35 K = 70 W → part du rayonnement 21 W / 91 W ≈ 23 %
6. Avec ventilateur (α = 50 W/(m²·K)) : Q̇_conv = 700 W → part du rayonnement ≈ 3 %
7. Aluminium brut (ε = 0,09) : Q̇_rad = 2,3 W au lieu de 21 W

En convection naturelle, le rayonnement assure dans cet exemple près d'un quart de l'évacuation de chaleur, car α_rad, d'environ 6 W/(m²·K), est du même ordre de grandeur que α_conv. Avec ventilateur, sa part tombe à environ 3 % et devient négligeable. L'anodisation noire multiplie la puissance rayonnée par environ 9 par rapport à l'aluminium brut.

Quand le rayonnement thermique compte-t-il ?

Le rapport entre α_rad et α_conv détermine s'il faut tenir compte du rayonnement. Pour des températures de surface jusqu'à environ 100 °C et une émissivité élevée, α_rad vaut environ 5 à 8 W/(m²·K). C'est beaucoup par rapport à la convection naturelle et peu par rapport à la convection forcée.

• Le rayonnement compte pour les appareils refroidis passivement, dans les boîtiers fermés sans ventilateur et aux températures de surface élevées, car q̇_rad croît avec T⁴.
• Une surface anodisée noire ou peinte fait passer ε de moins de 0,1 à 0,85 à 0,95. En convection forcée, cela n'apporte presque rien sur le plan thermique.
• Sur un dissipateur à ailettes, les ailettes se voient mutuellement. Pour le rayonnement vers l'environnement, seule la surface enveloppe compte en première approximation, et non la surface totale des ailettes.
• La formule suppose un grand environnement à température uniforme. Si des composants chauds ou des parois de boîtier voisins renvoient du rayonnement, le flux thermique net diminue.

Valeurs indicatives de α d'après Incropera et al., Fundamentals of Heat and Mass Transfer, et le VDI-Wärmeatlas. α_rad calculé pour une température de surface de 60 °C et une ambiance à 25 °C.

Interpréter la densité de flux thermique : air ou liquide ?

La densité de flux thermique q̇ est un bon premier indicateur du concept de refroidissement. Ce qui compte, c'est la densité à la surface de montage du refroidisseur, là où la chaleur passe du composant au dissipateur. Les plages sont des valeurs indicatives, pas des limites strictes.

Une semelle épaisse ou un insert en cuivre étale la chaleur et réduit q̇ à la surface du refroidisseur. Il est donc utile de regarder les deux surfaces : celle du composant et celle du refroidisseur.

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