Calcul du nombre de Reynolds : écoulement laminaire ou turbulent dans les canaux de refroidissement

Pourquoi le nombre de Reynolds compte pour les plaques froides

Le régime d'écoulement du fluide dans un canal, laminaire ou turbulent, détermine dans quelle mesure il absorbe la chaleur de la paroi et quelle pression la pompe doit fournir pour cela. La corrélation de transfert thermique applicable et la vitesse à laquelle la perte de charge augmente avec le débit dépendent directement de ce régime. Le nombre de Reynolds fait donc partie des premières grandeurs à vérifier lors du dimensionnement d'une plaque froide, avant de calculer le coefficient de transfert thermique et la perte de charge.

Formule du nombre de Reynolds et signification physique

Le nombre de Reynolds est une grandeur sans dimension. Il compare les forces d'inertie de l'écoulement aux forces de viscosité du fluide :

• Re : nombre de Reynolds [–]
• ρ : masse volumique du fluide [kg/m³]
• v : vitesse moyenne d'écoulement dans le canal [m/s]
• Dₕ : diamètre hydraulique, égal au diamètre intérieur d pour un tube rond [m]
• η : viscosité dynamique [Pa·s]
• ν = η / ρ : viscosité cinématique [m²/s]

Inertie contre viscosité

Aux faibles nombres de Reynolds, les forces de viscosité dominent : les perturbations de l'écoulement sont amorties et le fluide glisse en couches parallèles avec un profil de vitesse parabolique. Aux nombres de Reynolds élevés, les forces d'inertie dominent : les perturbations ne s'atténuent plus, des tourbillons mélangent le fluide perpendiculairement à la direction d'écoulement et le profil de vitesse s'aplatit. Comme Re est sans dimension, toutes les grandeurs doivent être exprimées dans des unités cohérentes. Si vous utilisez Dₕ en mm, v doit être en mm/s et ν en mm²/s.

Laminaire ou turbulent : nombre de Reynolds critique et zone de transition

Pour l'écoulement dans les tubes et les canaux, rapporté au diamètre hydraulique, les valeurs indicatives suivantes s'appliquent :

Pourquoi certaines sources indiquent 4 000 au lieu de 10 000

Le nombre de Reynolds critique d'environ 2 300 marque la limite en dessous de laquelle un écoulement en tube reste laminaire de façon fiable : les perturbations venant de l'entrée ou de la rugosité de paroi s'y atténuent. Au-dessus, l'écoulement peut devenir turbulent, sans que ce soit obligatoire. Dans des tubes très lisses avec une entrée sans perturbation, un écoulement laminaire a été observé bien au-delà de 10 000.

Pour la limite supérieure, deux conventions sont courantes. Les manuels de mécanique des fluides situent souvent le régime turbulent à partir de Re ≈ 4 000, car le coefficient de frottement suit dès lors la courbe turbulente du diagramme de Moody. Les corrélations classiques de transfert thermique comme Dittus-Boelter ne s'appliquent en revanche qu'à partir de Re ≈ 10 000, et Incropera ainsi que le VDI-Wärmeatlas ne parlent d'écoulement pleinement turbulent qu'à partir de cette valeur. Pour le dimensionnement d'une plaque froide, 10 000 est la valeur la plus prudente : entre 4 000 et 10 000, la perte de charge se comporte déjà presque comme en régime turbulent, mais pas encore le transfert thermique.

Diamètre hydraulique et vitesse d'écoulement

Pour les sections non circulaires, le diamètre hydraulique remplace le diamètre du tube. Il vaut quatre fois la section de passage A divisée par le périmètre mouillé P :

• Tube rond de diamètre intérieur d : Dₕ = d
• Canal rectangulaire a × b : Dₕ = 2 · a · b / (a + b)
• Canal carré de côté a : Dₕ = a
• Fente plate (b nettement plus petit que a) : Dₕ ≈ 2 · b
• Espace annulaire entre diamètre extérieur D et diamètre intérieur d : Dₕ = D − d

Vitesse d'écoulement à partir du débit

La vitesse moyenne découle du débit volumique et de la section d'un canal, v = V̇ / A. Avec V̇ en l/min et A en mm², l'équation numérique s'écrit :

Si un collecteur répartit le débit sur n canaux parallèles, seule la part par canal compte, soit V̇ / n. C'est pourquoi, à débit total égal, le même fluide s'écoule souvent en régime laminaire dans une plaque froide à nombreux canaux fins et en régime turbulent dans un tube unique serti.

Propriétés des fluides : viscosité de l'eau, du glycol et de l'air

Pour une géométrie et une vitesse données, la viscosité cinématique ν détermine le nombre de Reynolds. Le tableau présente des valeurs typiques à pression ambiante (1,013 bar). Une valeur de 1 · 10⁻⁶ m²/s correspond à 1 mm²/s.

Les valeurs du glycol dépendent de la concentration et du produit. Un mélange 50/50 se situe à environ 3,5 · 10⁻⁶ m²/s en pourcentage massique et à environ 3,8 · 10⁻⁶ m²/s en pourcentage volumique. Les fluides prêts à l'emploi peuvent légèrement différer en raison des inhibiteurs, et les mélanges à base de propylène glycol sont nettement plus visqueux à concentration égale. Pour le dimensionnement, utilisez la fiche technique de votre fluide caloporteur.

Sources : eau et air d'après le VDI-Wärmeatlas et Incropera et al., Fundamentals of Heat and Mass Transfer. Mélanges d'éthylène glycol calculés à partir des corrélations de viscosité et de masse volumique de l'Ethylene Glycol Product Guide de MEGlobal, valeurs arrondies.

Influence de la température et du glycol sur le nombre de Reynolds

La viscosité de l'eau diminue fortement avec la température. De 20 °C à 60 °C, ν passe de 1,00 à 0,47 · 10⁻⁶ m²/s, soit environ un facteur 2. À vitesse égale, le nombre de Reynolds double donc. Un canal parcouru en régime laminaire au laboratoire avec de l'eau à 20 °C peut se trouver dans la zone de transition en fonctionnement, avec un fluide à 50 ou 60 °C. Calculez donc avec la température moyenne du fluide dans le canal et vérifiez aussi le cas de fonctionnement le plus froid.

Le glycol agit en sens inverse. Un mélange 50/50 est près de quatre fois plus visqueux que l'eau à 20 °C, et à vitesse égale, le nombre de Reynolds tombe à un peu plus d'un quart. Re = 8 000 avec de l'eau devient ainsi environ Re = 2 100, soit un écoulement laminaire. Les mélanges de glycol ont en outre une conductivité thermique et une capacité thermique plus faibles que l'eau. À basse température, par exemple lors d'un démarrage à froid en dessous de 0 °C, leur viscosité augmente encore fortement.

Ce que le nombre de Reynolds signifie pour les plaques froides

Un écoulement turbulent améliore le transfert thermique, car les tourbillons amènent du fluide plus froid du centre du canal vers la paroi. En régime pleinement turbulent, le coefficient de transfert thermique α augmente environ avec v^0,8 : doubler la vitesse apporte environ 75 % de α en plus. Dans le même temps, la perte de charge est multipliée par 3,4 à 4 environ, car elle augmente à peu près avec v^1,75 à v². Au-delà d'un certain point, chaque augmentation supplémentaire coûte surtout de la puissance de pompage.

Un écoulement laminaire peut néanmoins très bien refroidir. En écoulement laminaire pleinement établi, le nombre de Nusselt Nu = α · Dₕ / λ est constant, donc α ∝ 1 / Dₕ : plus le canal est petit, plus le transfert thermique est élevé. Un canal rond de Dₕ = 0,5 mm atteint avec de l'eau à 40 °C (conductivité thermique λ ≈ 0,63 W/(m·K), Nu = 4,36) déjà α ≈ 5 500 W/(m²·K), alors que Re n'est que de quelques centaines. Un tube de 10 mm en écoulement turbulent à 1,5 m/s (Re ≈ 23 000) atteint environ 8 000 W/(m²·K). Les microcanaux offrent en outre une surface mouillée nettement plus grande par unité de surface au sol.

Dans les plaques froides réelles, l'écoulement est rarement pleinement établi. Les canaux courts, les coudes, les picots et les ailettes perturbent sans cesse la couche limite, de sorte que le transfert thermique dépasse la valeur de l'écoulement établi. Le nombre de Reynolds vous indique dans quel régime vous vous trouvez et quelle corrélation convient. Pour le dimensionnement proprement dit, il vous faut ensuite le coefficient de transfert thermique et la courbe de perte de charge.

• Calculer la perte de charge de la plaque froide →
• Déterminer le coefficient de transfert thermique α →

Exemple de calcul : plaque froide à huit canaux parallèles

Une plaque froide est traversée par 8 l/min d'eau à 40 °C (ν = 0,658 · 10⁻⁶ m²/s). Un collecteur répartit le débit uniformément sur huit canaux rectangulaires parallèles de section 10 mm × 3 mm.

1. V̇ par canal = 8 l/min / 8 = 1 l/min = 1,667 · 10⁻⁵ m³/s
2. A = 10 mm · 3 mm = 30 mm² = 3,0 · 10⁻⁵ m²
3. v = V̇ / A = 1,667 · 10⁻⁵ / (3,0 · 10⁻⁵) ≈ 0,556 m/s
4. Dₕ = 2 · 10 · 3 / (10 + 3) ≈ 4,62 mm
5. Re = v · Dₕ / ν = 0,556 · 0,00462 / (0,658 · 10⁻⁶) ≈ 3 900
6. 2 300 < Re < 10 000 → zone de transition

Avec 1 l/min par canal, l'écoulement se situe dans la zone de transition. Avec de l'eau à 20 °C (ν = 1,00 · 10⁻⁶ m²/s), Re descend à environ 2 560, juste au-dessus de la limite laminaire. Si les 8 l/min passaient par un seul canal de même taille, v monterait à 4,4 m/s et Re à environ 31 000 : pleinement turbulent, mais avec une perte de charge bien plus élevée.

Calculateurs et thèmes complémentaires

• Calculer la perte de charge de la plaque froide →
• Coefficient de transfert thermique α →
• Calculer la puissance de refroidissement et le débit →
• Calculer le flux thermique →
• Choisir le type de plaque froide →
• Dimensionner un refroidissement liquide à haute densité de puissance →